┘
De opteller, of Full adder in het Engels, is een digitale schakeling die twee binaire getallen bij elkaar optelt.
Het binaire stelsel hebben wij al behandeld, het is een tweetallig stelsel, een stelsel dat slechts 2 waardes kent, 0 of 1, Laag of Hoog, aan of uit.
Als we vragen hoeveel 1+2 is weten dat het 3 is.
Maar hoe tellen we deze getallen binair op?
Binair is één 1 en is 2 ook 1, alleen staan ze op een andere plaats.
De plaats van een bit is dus belangrijk voor de waarde.
Hoe meer een bit naar links staat, deze te groter het getal.
Het uiterst linkse getal is het meest significant omdat dit het grootste is.
In bovenstaande tabel zien wij dat de meest linker 1 een decimale waarde heeft van 128.
De meest rechter 1 heeft een decimale waarde van slechts 1.
Als de linker 1 verkeerd gelezen wordt hebben we een grote afwijking van 128, als de rechter 1 verkeerd gelezen wordt hebben wij slechts een afwijking van 1.
De linker 1 is het belangrijkst, en hoe meer weer naar rechts gaan, des de minder belangrijk is deze waarde.
Ho ho, zal de oplettende cursist nu zeggen.
Binaire getallen lees je van rechts naar links! klopt, we lezen binaire getallen van rechts naar links, en hoe verder wij komen, des te belangrijker de bits worden.
Hoe tel je binaire getallen nu op?
Laten we eerst twee decimale getallen optellen.
67
+39
We tellen eerst de 7 en de 9 en komen uit op 16.
We schrijven de 6 op en de 1 tellen wij op bij de 6 en de 3, dan komen wij op 10.
We schrijven de 0 op en onthouden de 1 en dit tellen wij op bij de getallen voor 67 en 39.
Aangezien hiervoor geen getallen staan, schrijven wij de 1 op.
Je komt uit op 106.
Je ziet dat we gaan van twee getallen met 2 cijfers naar één getal met 3 cijfers.
Bij binair tellen kunnen we ook van bijvoorbeeld bij het optellen van twee 4 bit getallen op een 5 bit getal uitkomen.
Binair optellen
Decimaal optellen is niet moeilijk, binair optellen is dat ook niet, het is alleen even wennen.
Hoeveel is het als je de binaire getallen 10 en 11 bij elkaar optelt?
Net als bij decimaal optellen zet je de getallen onder elkaar.
10
+11
We tellen eerst de rechter cijfers bij elkaar op, 0 + 1 = 1, we schrijven 1 op.
Dan de linker cijfers , 1 + 1 = 10.
Dat lijkt wat raar omdat wij decimaal in ons hoofd hebben, maar dit is binair.
Het is dan ook niet tien maar één nul.
Deze 1 0 zetten wij voor de 1 die wij al hadden, we krijgen van 1 0 1.
De meest rechter 1 staat voor één of nul, in dit geval voor één.
De middelste 0 staat voor nul of twee, in dit geval voor 0.
De linker 1 staat voor nul of vier, in dit geval een vier. We hebben dan 5 decimaal.
Klopt dit? J
a, want 1 0 binair is 2 en 1 1 binair is 3. 3+2 = 5.
De opteller kan deze getallen voor ons optellen.
Op de ene poort zet je een signaal van 1 0 en op de andere poort een signaal van 1 1 en dan komt er aan de uitgang 1 0 1 uit.
Je ziet dat er twee 2 bit getallen bij elkaar worden opgeteld en dat er een 3 bits getal uitkomt.
Een uitkomst wordt altijd een bit groter als de meeste linker optelling 1 0 is.
Als een optelling van 1 en 1, 1 0 is schrijven wij de 0 op en de 1 brengen we over naar de bit die er links van staat.
Net als bij decimaal tellen schrijven wij het laatste getal op en onthouden het getal dat ervoor staat en tellen die op bij het voorgaande cijfer.
We gaan nu wat voorbeelden geven, want we kunnen ons voorstellen dat deze uitleg niet alles verheldert.
Voorbeelden
We hebben twee binaire getallen 1 1 0 1 en 1 0 0 1.
We beginnen net als bij decimaal tellen aan de rechter kant, we zien een 1 en een 1.
We hadden net gelezen dat 1 en 1 = 1 0.
We schrijven de 0 op en "onthouden" de 1.
Bij bit twee zien wij een 0 en een 0 , 0+0= 0 maar we moesten er eentje onthouden, dat maakt 1
Bij bit drie zien wij een 1 en een 0. 0+1= 1 en we hoefde niets te onthouden van de vorige
Bij bit vier zien wij een 1 en een 1. 1 + 1 = 1 0. We schrijven de 0 op en onthouden de 1
Bit vijf is er nog niet maar we moesten van bit 4 nog wel eentje onthouden, wij maken als het ware bit 5 aan en zetten de 1 neer.
De uitkomst is dan 1 0 1 1 0
Als je niet helemaal zeker bent van je binaire rekenkunsten kun je altijd, als je op het examen nog tijd over hebt, de proef op de som nemen door de getallen decimaal te maken.
De gegeven getallen zijn decimaal 13 en 9, dat is bij elkaar optelt 22.
De uitkomst is decimaal 22.
Zie de omzetting van binair naar decimaal hieronder.
8 bit full adder
Voor ons examen moeten wij de 8 bit full adder of opteller beheersen.
Dit is een schakeling met een uitgang van 8 bits.
Je kunt er twee 7 bits getallen mee optellen, geen 8 bits omdat je niet weet of de meeste significante bits bij elkaar optelt 0 1 of 1 0 is,
in geval van 1 0 zal er een bit bijkomen en dat kom je boven de 8 bits uit en dat kan deze opteller niet verwerken.
De full adder is een ingewikkelde schakeling, maar op het examen worden (tot nog toe) er geen ingewikkelder vragen over gesteld dan over het optellen met een full adder.
Hieronder de enige examenvraag hierover die wij hebben kunnen vinden in de examens van 2013 tot en met 2019.
Je ziet dat de antwoorden bestaan uit 8 bits, maar dat de gegeven getallen slechts 4 bits zijn, de uitkomst kan hooguit 5 bits zijn,
hierdoor valt antwoord b sowieso af.
We zien dat de meest significante bits bij de gegeven getallen beide 1 zijn, bij elkaar opgeteld maakt dit 1 0 , we krijgen een bit extra, 5 bits lang wordt de uitkomst.
Zonder verder te rekenen kunnen wij stellen dat antwoord a goed moet zijn.
We hebben zo eenvoudig als mogelijk uitgelegd wat de 8 bit full adder doet, dat het ook ingewikkelder kan, maar wel veel uitgebreider,
lees je hier op Wikipedia .
Laat de moed niet zakken als je van de Wikipedia uitleg niets snapt, om de full adder vragen op het examen goed te maken heb je meestal voldoende aan de uitleg zoals hierboven is beschreven in de cursus
